大物学习笔记（七）——波的能量

| 2022-2-28 11:03 阅读 746 评论 20

（若无说明，这里研讨的都是平面简谐纵波在直棒中传布，也就是大物考试内容。其他情况下的公式可以用不异方式自行推导或则网上查询）

波动的进程是能量传布的进程

单个质元的机械能： $dE=dE_{k}+dE_{p}=\rho A^{2}\omega^{2}sin^{2}[\omega(t-\frac{x}{u}) + \varphi_{0}]dV$ ，在波动进程中，任一质元的动能和势能相称，且同相位变化。
新的物理概念：

应变：弹性介质中，质元沿纵波传布偏向遭到相邻质元的内力（拉力或压力）感化而响应地发生伸长或紧缩形变，其形变量与质元原有长度之比。简单来说波自己是一个质元带动下一个质元活动，然后这个质元在来自相邻的质元的力发生形变。这个形变量与本来的长度比值就是应变。
应力：物体受外力感化而发生形变时，其内部会发生内力，此内力与感化而的面积之比称为应力。如内力沿感化面的法线偏向，则称响应的应力为正应力。简单来说就是所受力除以这个力的感化面积

推导进程：我们先把弹性介质分红无穷多份，那末每一份的体积是 $dV$ 。自己弹性介质的密度可所以不均匀，可是我们分红很多小份以后便可以看做是均匀的介质。那末每一个质元的质量就是 $dm=\rho dV$ 。而每一点的活动方程是 $y=A cos[\omega(t-\frac{x}{u}) + \varphi_{0}]$ ，对t求偏导获得 $v=\frac{\partial y}{\partial t}=-A\omega sin[\omega(t-\frac{x}{u}) + \varphi_{0}]$ 。那末每一点的动能就是 $dE_{k}=\frac{1}{2} \rho A^{2}\omega^{2}sin^{2}[\omega(t-\frac{x}{u}) + \varphi_{0}]dV$ 。

现在动能部分化决，就要来处理势能部分。这一个质元的应力就是 $\frac{dF}{dS}$ 。它的应变就是 $\frac{dy}{dx}$ 。而物体的应力与应酿成反比，所以 $\frac{dF}{dS}=Y\frac{dy}{dx}$ （这里的 $Y$ 是上一次波速那边提到的扬氏模量）。又按照胡克定律，这个质元形变的偏向是沿y轴，所以 $dF=kdy$ 。所以便可以求出 $k=\frac{YdS}{dx}$ 。所以弹性势能 $dE_{p}=\frac{1}{2}k(dy)^{2}=\frac{1}{2} \times \frac{YdS}{dx} \times (dx)^{2} \times (\frac{dy}{dx})^{2}$ 。所以 $dE_{p}=\frac{1}{2}YdV(\frac{dy}{dx})^{2}$ 。而又由于y对x求偏导 $\frac{\partial y}{\partial x}=-A\frac{\omega}{u}sin[\omega(t-\frac{x}{u}) + \varphi_{0}]$ 。而波速与杨氏模量之间有 $u=\sqrt{\frac{Y}{\rho}} \Rightarrow Y=\rho u^{2}$ 。所以代入可得 $dE_{p}=\frac{1}{2} \times \rho u^{2} \times A^{2}(\frac{\omega}{u})^2 sin^{2}[\omega(t-\frac{x}{u}) + \varphi_{0}] \times dV$ 。化简便可以获得 $dE_{p}=\frac{1}{2} \rho A^{2}\omega^{2}sin^{2}[\omega(t-\frac{x}{u}) + \varphi_{0}]dV$

最初把势能和动能加起来 $dE=dE_{k}+dE_{p}=\rho A^{2}\omega^{2}sin^{2}[\omega(t-\frac{x}{u}) + \varphi_{0}]dV$ 。从上面的推导我们也不丢脸出动能和势能是相称的。

波动的进程是能量传布的进程，每一个质元在上一个质元的带动下起头振动，上一个质元也就把它的能量传递给了下一个质元。所以波的本质就是能量的传递。就像你往水里面丢了一颗石子，石子在撞击水面的时辰，部分机械能以水波的形式传递进来了，可是你发生的水波也就只要撞击时辰发生的。并不能你丢一块石头，在没有石头能量输入的时辰那边还能永久不停歇地发生波。
与简谐振动的区分，简谐振动的动能和势能是交替变更的一个增加别的一个就会削减，而波的势能和动能是同增同减的。

波的能量

能量密度： $w = \frac{dE}{dV}=\rho A^{2}\omega^{2}sin^{2}[\omega(t-\frac{x}{u}) + \varphi_{0}]$ 。单元体积的介质中波动的能量就是能量密度。（要留意这里的标记是小写的英笔墨母w，不是希腊字母Omega）
均匀能量密度： $\bar{w} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}\rho A^{2}\omega^{2}sin^{2}[\omega(t-\frac{x}{u}) + \varphi_{0}] = \frac{1}{2}\rho A^{2}\omega^{2}$ （T是我们研讨的直棒的长度）。把每个单元体积的能量加起来求均匀值就行了。（假如不是直棒，就用dV来积分，假如密度不平衡还要对密度函数停止积分）

机械波的能量与振幅的平方、频次的平方以及介质的密度成反比。

能流： $P=w dx=\rho A^{2}\omega^{2}sin^{2}[\omega(t-\frac{x}{u}) + \varphi_{0}]dx$ 单元时候内经过介质中某一面积的波动能量。
均匀能流（波的功率）： $\bar{P} = \frac{\bar{w}dV}{dt} = \frac{\bar{w}Sudt}{dt}=\frac{1}{2}\rho A^{2}\omega^{2}uS$ （S是横截面积）。单元时候内垂直经过介质中某一面积的均匀能量。单元：W（瓦特）
能流密度（波的强度）： $I=\frac{\bar{P}}{S}=\frac{1}{2}\rho A^{2}\omega^{2}u$ 。垂直经过单元面积的均匀能流。留意假如截取平面不与波的传递偏向垂直，要斟酌有用的投影面积是什么。单元： $W/m^{2}$ （单元面积的功率）。

当取矢量表达式的时辰，偏向与波速偏向不异。

例题

1.试证实在均匀且无吸收的介质中传布的球面波，其振幅与它分开波源的间隔成反比。

解：一个波没有被吸收，没有能量输入，那末它整体的功率是稳定的。我们任取两个平面都有 $\bar{P_{1}}=\bar{P_{2}}$ 。

又由于介质均匀，那末密度就是个常量。而波速又与介质有关，与波自己的状态无关，所以波速也是常量（这部分笔墨解题时可以省略，间接易知）。所以 $\frac{1}{2}\rho A_{1}^{2}\omega^{2}uS_{1}=\frac{1}{2}\rho A_{2}^{2}\omega^{2}uS_{2} \Rightarrow A_{1}^{2}S_{1}=A_{2}^{2}S_{2}$ 。

由因而球体，所以 $S_{1}=4\pi r_{1}^{2}$ ， $S_{1}=4\pi r_{2}^{2}$ （这里解题也可以省略，不成能要考你球体概况积，我只是想提醒一下看清楚究竟是球还是啥）

代入便可以获得 $\frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{r_{2}}{r_{1}}$ 。所以振幅与它分开波源的间隔成反比。

推行一下， $\frac{I_{1}}{I_{2}}=\frac{\frac{1}{2}\rho A_{1}^{2}\omega^{2}u}{\frac{1}{2}\rho A_{2}^{2}\omega^{2}u}=\frac{r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}}$ 。人措辞是球面波，所以声强随着间隔增加是平方的衰减关系。

2.一球面波在各向同性均匀媒质中传布，已知波源的功率为100(J/s)，频次为100Hz，波长为0.24m，求：

（1）距波源5m处与10m处的波的强度；

（2）距波源5m处与10m处的波的均匀能量密度；

（3）距波源5m处与10m处的振动振幅的比。

解：(1).

之前就讲了波的功率 $\bar{P}=100 J/s$ 。而 $I=\frac{\bar{P}}{S}$ 。

$r_{1}=5m$ ， $I_{1}=\frac{\bar{P}}{4\pi r_{1}^{2}} \approx 0.318 （W/m^{2}）$

$r_{2}=10m$ ， $I_{2}=\frac{\bar{P}}{4\pi r_{2}^{2}} \approx 7.96 \times 10^{-2} （W/m^{2}）$

(2).

$\bar{w}=\frac{\bar{P}}{uS}=\frac{I}{u}$ （感觉哪个算着随手用哪个）

$r_{1}=5m$ ， $\bar{w}=\frac{I_{1}}{u} \approx 1.33 \times 10^{-2} （Jm^{-3}）$

$r_{2}=10m$ ， $\bar{w}=\frac{I_{2}}{u} \approx 3.32 \times 10^{-3} （Jm^{-3}）$

(3). $\bar{P}=\frac{1}{2}\rho A^{2}\omega^{2}uS \Rightarrow \frac{A_{1}}{A_{2}}=\sqrt{\frac{S_{2}}{S_{1}}}=\frac{r_{2}}{r_{1}}=2$

波的吸收

振幅的关系： $A=A_{0}e^{-\alpha x}$ （ $A_{0}$ 最初的振幅， $x$ 到波源的间隔， $\alpha$ 吸收系数满足 $-dA=\alpha A dx$ ）
波强（能流密度）的关系： $I=I_{0}e^{-2\alpha x}$ 。
推导进程：在地球上大部分情况波在传递进程中城市被吸收，它的能量会不竭削减。只要晓得了 $-dA=\alpha A dx$ ，当前的振幅与间隔和振幅的乘积成比例就行了。这就是个解微分方程的进程。 $\alpha$ 就是吸收系数， $\alpha$ 越大必定衰减的越快，越小衰减的越慢。

假如说电磁波最多见的就是可见光，那末机械波里面最多见的必定就是声音。（这部分是领会内容，不是计较内容。）

声

分类：

声波：频次在20 Hz ~ 20 000 Hz波段的机械波。（能为人类听觉感知的频段）
超声波：频次高于20 000 Hz 的声波。

频次高，声强大
定向传布性能很好
遇障碍物时易构成反射
在水等一些介质中的衰减系数较小，穿透本事好

次声波：频次低于20 Hz 的声波。

频次低、波长甚长
衰减极小

声速：与温度、介质有关。

声压： $p=-\rho A \omega u sin[\omega (t-\frac{x}{u})+\varphi_{0}] = \rho u v$ （ $u$ 声速， $v=-A \omega sin[\omega (t-\frac{x}{u})+\varphi_{0}]$ ，称为体积速度）。某一时辰，在介质中的某处，有声波传布时的压强 $p$ 与无声波传布时的压强 $p_{0}$ 之差。

声压随空间位置和时候作周期性变化，而且与振动速度同相位。
声阻抗： $Z=\rho u$ ，声波在两种分歧介质分界面上反射和折射时的能量分派由该两种介质的声阻抗来决议。

声阻抗较大的介质称为波密介质
声阻抗较小的介质称为波疏介质

声强： $I=\frac{1}{2}\rho A^{2}\omega^{2}u$ 。声波的能流密度。

声压的幅值（最大值）： $p_{m}=\rho A \omega u$
声压与声强之间的关系： $I=\frac{1}{2} \frac{p_{m}^{2}}{\rho u}$

声强级： $L=lg\frac{I}{I_{0}}$ 。（ $I_{0}$ 是个常数，称为标准声强，巨细 $10^{-12} W\cdot m^{-2}$ ）。

单元：B（贝），1B（贝）=10dB（分贝）
反应了人类对于声音强弱的主观感受

波的叠加道理

波传布的自力性：当几列波在空间某相遇后，各列波仍将连结其原本的频次、波长、振动偏向等特征继续沿本来的传布偏向进步。
波的叠加道理：各列波在相遇地区内，任一质元的振动是各列波零丁存在时对该质元所引发振动的合振动。

波的干与

干与：两列波在空间相遇（叠加），以致在空间的某些地方振动始终增强，而在空间的另一些地方振动始终削弱或完全消失的现象。
干与条件：两列波的频次不异，振动偏向不异，有恒定的相位差。在光学里红光和紫光必定不能干与，他们频次不不异。再假如都是红光，沿x轴传布，一个沿y轴振动，一个沿着z轴振动，那末振动偏向不不异，必定也不能干与。
相关波源：能发生相关波的波源。

计较：假定波源振动的方程别离为 $S_{1}: y_{1}=A_{10}cos(\omega t + \varphi_{1})$ ， $S_{2}:y_{2}=A_{20}cos(\omega t + \varphi_{2})$ 。

那末两列波传递到P点的时辰，发生的振动别离是 $y_{1P}=A_{10}cos(\omega t + \varphi_{1} - 2\pi\frac{ r_{1}}{\lambda})$
和 $y_{2P}=A_{20}cos(\omega t + \varphi_{2} - 2\pi\frac{ r_{2}}{\lambda})$ 。以S1为例，一个周期表示在角度上就是 $2\pi$ ，在波的传递上就会进步 $\lambda$ 。那末走了 $r_{1}$ 的间隔，就是 $\frac{r_{1}}{\lambda}$ 个周期。最初拿到角度里面去就是P点的振动比S1点早 $2\pi\frac{r_{1}}{\lambda}$ 的相位，所以用减法。最初P点的振动方程就表示为了 $y_{p}=y_{1p}+y_{2p}=Acos(\omega t + \varphi)$ 。表示出一个恒定的振动方程，并不会随着波的传递而改变，就叫做干与。这里的 $A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}cos[\varphi_{2}-\varphi_{2}-\frac{2\pi}{\lambda}(r_{2}-r_{1})]}$ ， $\varphi=arctan\frac{A_{1}sin(\varphi_{1}-\frac{2\pi r_{1}}{\lambda})+A_{2}sin(\varphi_{2}-\frac{2\pi r_{2}}{\lambda})}{A_{1}cos(\varphi_{1}-\frac{2\pi r_{1}}{\lambda})+A_{2}cos(\varphi_{2}-\frac{2\pi r_{2}}{\lambda})}$ 。具体推导进程见于简谐振动的分解。这一个点的能流密度就是 $I=I_{1}+I_{2}+2\sqrt{I_{1}I_{2}}cos[\varphi_{2}-\varphi_{2}-\frac{2\pi}{\lambda}(r_{2}-r_{1})]$ 。